User:トレモロン/運についての数学

　まずは、主能力にあるように、運の値が100上昇するたびにダイスリロールが発生します。（なお、3dや4dのときは、すべてのダイスをすべて一斉に振りなおしているようで、運の効能が弱まってしまいます。）

このとき、複数回リロールされたうちの最大の数値が抜擢され、ダメージ計算に用いられます。

これを定式化して運がどれくらいダメージ増加に貢献するかをここで述べます。

　（なお、運による効果は計算を終えた感想として、非常に微々たるものであると言わざるを得ません）。

　まず、1dM（ダイス数1つ、面は１～Mまであるもの）の場合において、抜擢される数がnである確率をa_n、ダイスロール回数をL（＝基本値1＋[運/100を小数点切り捨てたもの]）とします。

　L回振って、出た面すべてが１～ｎに収まる確率は( n/M )^Lです。このとき、抜擢される数は当然１～ｎですから、a₁+a₂+...+a_n= ( n/M )^L となります。

つまり、抜擢される数が１になる確率からｎになる確率までをすべて足したものこそ、この範囲に収まる確率に他ならないという意味の式です。

n-1で、同じ議論をすると、出た面すべてが１～ｎ-1に収まる確率はa₁+a₂+...+a_n-1= ( (n-1)/M )^Lです。

二式の両辺の差をとると、a_n= ( n/M )^L - ( (n-1)/M )^L ＝ [n^L -(n-1)^L] / M^L を得ます。

　次に、出た面の数字と、それに対応するa_nをかけてn＝1からMまで足し合わせると攻撃の期待値になります。（期待値は平均と似た概念の数値で、Elinのダメージの期待値であれば、長期戦で100回相手に攻撃を加えたときは、与えた累計のダメージはほとんどその攻撃の期待値×100と同じになるという目安として使えます。）

　出た数字×a_n＝na_n＝[ n^L+1 - n*(n-1)^L ] / M^L

　シアン色を前の部分、赤色を後ろの部分と呼ぶとします。

　n-1では、(n-1)a_n-1＝[ (n-1)^L+1 - (n-1)*(n-2)^L ] / M^Lです。

　見比べると、na_nの後ろの部分は、(n-1)a_n-1の前の部分とよく似ていて、それらを引き算すると、-(n-1)^Lになります。これをカップリングと呼ぼうと思います。

　よってna_nをn＝１からMまで足すと、n=1の後ろの部分と、n=Mの前の部分を除いて、全てがカップリングします。n=1の後ろの部分は計算すると0、n=Mの前の部分は計算するとM^L+1になり、カップリングで生じるものは、-[1^L + 2^L + ... + (M-1)^L]となります。

　ここで、1^L + 2^L + ... + (M-1)^Lのようなものをべき乗和とよび、計算結果がよく研究されています。ここではMが大きい時高精度になる近似値である、1^L + 2^L + ... + (M-1)^L≒　M^L+1 / (L+1) を用います。

　（ちなみに３のときまでは近似しない値も比較的簡単です。幸いなことに、ElinでLが３を超えるときというのは運が300以上のときですので、あまり考えなくてもよいでしょう。）

　だから、攻撃のおおよその期待値は、[ M^L+1 - M^L+1 / (L+1) ] / M^L = [L/(L+1)]*Mとなります。

L＝１のときは運が0の時ですから、ちゃんとM/2です。この値を元に、運によってダイスの期待値が何倍になっているかを計算すると、

L=1で、1倍。

L=2で、1.33倍。

L=3で、1.5倍。

あまりにもしょっぱいと言わざるを得ません。

以上です。